Dividiendo triángulos

Partiendo de un triángulo isósceles (de dos ángulos iguales), ¿a qué altura deberíamos cortarlo para obtener dos mitades con igual área? (descartando la solución obvia del eje de simetría).

Aquí tenemos el triángulo, con su base B y su altura H, y como sabemos, su Área Total se halla multiplicando base por altura y dividiendo por 2.

Desconocemos la altura del corte, pero por lo pronto sabemos que las dos subáreas generadas, A1 y A2 tendrán la misma superficie, esto es: BxH/4

Intenté resolverlo por geometría y la cosa se complicó bastante, de modo que me acordé de las integrales, y tras buscar cómo se resolvían (pues hacía décadas que no hacía una), la cosa fue más sencilla.

Para empezar, vamos a obtener una función primitiva que defina nuestro triángulo, colocando el origen de coordenadas en el vértice superior. Si tomamos la mitad del triángulo, nuestra función es algo tan simple como una recta, que puede expresarse de la forma x igual a y multiplicado por un factor k.
¿Y cómo hallamos ese factor k?
Fácil, simplemente sustituímos en la fórmula y=k*x con los valores que conocemos. Tal como hemos colocado el triángulo, cuando y vale H (la altura), resulta que x vale B/2 (la mitad de la base).

Arriba podemos observar que nuestra función al final ha quedado, despejando la x, como una función de y pues los límites que definen el área, entre 0 y H, se encuentran en ese eje, y es f(y) lo que se necesita integrar.

La integral de una función tan sencilla como la de este caso no tiene más misterio que mirar en una tabla de integrales la solución correspondiente. De todas formas, para funciones más complejas, existen páginas como ésta que te resuelven la integral. Integramos así:

Bien, hemos obtenido el área de nuestra función entre los valores 0 y H. En verdad esto es la mitad del área del triángulo original, pero como vamos a calcular las dos mitades sobre esta mitad, la altura de corte -que es lo que buscamos- no varía.

Para lo hecho hasta ahora no necesitábamos complicarnos la vida, bastaba con la fórmula del principio, la utilidad viene ahora.
Aunque desconocemos el valor de a, la altura de corte, sabemos que las dos subáreas, A1 y A2 deben de ser iguales. Por tanto, la integral de f(y) entre 0 y a, debe de ser igual a la integral entre a y H, así:

La función de arriba se simplifica bastante, despejamos la a, y obtenemos la solución, ¡TACHÁN!:

Lo cual significa que, midiendo desde el vértice superior, debemos realizar el corte a 0,707 veces la altura del triángulo, con independencia de su base, para obtener dos mitades de idéntico área.

Para el caso de un cono (imaginemos hasta dónde hay que dar un trago en una copa para compartir una bebida a partes iguales entre dos), al final encontré un ejemplo ideal para hacer el cálculo de la misma forma que el triángulo.
Así, partimos de la misma función con la que definíamos el triángulo, sólo que esta vez cambiamos B de Base por R de Radio (que es la mitad de la magnitud y por tanto desaparece un 2).
Pero la función que vamos a integrar es la del área de la circunferencia PI x r^2,  siendo este r en minúscula no el radio R mayúscula de la base del cono, sino el radio variable de cada uno de los infinitos círculos que recorren el cono y cuya superficie vamos a sumar al integrar para hallar el volúmen. Este radio viene definido por la variable x, es decir la función de y, f(y).

Tras integrar hemos obtenido una fórmula que podemos comprobar que corresponde con la del Volúmen de un cono. Vamos bien. A continuación, aplicamos como antes la regla de que el Volúmen obtenido de la integral entre 0 y a, debe ser igual al de la integral entre a y H.

Simplificamos, despejamos la a, y ¡voila!, para un cono la distancia medida desde el vértice superior (inferior en la imagen de la copa) es de 0,79 veces la altura: